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拓扑动力系统(4)：拓扑熵

新闻资讯 | 2024-03-12 11:21

1 开覆盖的运算; 2 拓扑熵的Adler, Konheim, McAndrew定义; 3 拓扑熵的Bowen定义; 4 两种定义的等价性; 本文主要参考文献.

本文的前置内容为:

格罗卜学数学：拓扑动力系统(1): 基本概念, Li-Yorke定理和Sharkovskii定理

格罗卜学数学：拓扑动力系统(2): 极小集, Birkhoff定理, ω极限点

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拓扑熵 是一个拓扑动力系统中可以用来测量此系统的复杂度的一个实数.

拓扑熵这个概念最先是由Adler, Konheim和McAndrew(1965)引入的. 我们首先介绍由Adler等给出的最初的开覆盖定义, 然后介绍由Bowen引进的扩张集与生成集定义. 接着证明两种意义下的拓扑熵是一致的.

设 $X$ 是一个紧拓扑空间, $T: X \ o X$ 是连续映射, $X$ 上的连续自映射序列 $\\{T^0,T^1, \\cdots ,T^n, \\cdots \\}$ 称作 $X$ 上由连续自映射 $T$ 经迭代而生成的紧致拓扑离散半动力系统 , 简称紧致系统, 记为 $(X,T)$ .

1-1.[公共加细]如果 $\\mathcal{U}$ 和 $\\mathcal{V}$ 为 $X$ 的开覆盖. 记 $\\mathcal{U}\\vee \\mathcal{V}=\\{A\\cap B | A\\in\\mathcal{U}, B\\in\\mathcal{V}\\}$ 并称之为 $\\mathcal{U}$ 和 $\\mathcal{V}$ 的公共加细. 类似可以定义有限个开覆盖的公共加细 $\\bigvee^{n}_{i=1}\\mathcal{U}_i$ . $\\bigvee^{n}_{i=1}\\mathcal{U}_i$ 仍然为 $X$ 的开覆盖.

1-2.[开覆盖的逆]如果 $\\mathcal{U}$ 为 $X$ 的开覆盖. $T$ 是一个连续映射. 记 $T^{-1}\\mathcal{U}$ 是所有 $T^{-1}U$ ( $U\\in\\mathcal{U}$ )的集合, 这仍然是一个开覆盖.

$T^{-1}(\\mathcal{U}\\vee \\mathcal{V})=T^{-1}(\\mathcal{U}) \\vee T^{-1}(\\mathcal{V})$ .

1-3.[子覆盖] $\\mathcal{V}$ 称为 $\\mathcal{U}$ 的子覆盖, 若每个 $\\mathcal{V}$ 中元素均为 $\\mathcal{U}$ 中元素.

1-4.[加细] $\\mathcal{V}$ 称为 $\\mathcal{U}$ 的加细, 记为 $\\mathcal{U}<\\mathcal{V}$ , 若每个 $V\\in \\mathcal{V}$ 中均能找到 $U\\in \\mathcal{U}$ 使得的 $V \\subset U$ . 加细有如下性质:

(1) [公共加细是加细] $\\mathcal{V}< \\mathcal{U}\\vee \\mathcal{V}$ , $\\mathcal{U}< \\mathcal{U}\\vee \\mathcal{V}$ ;
(2) 若 $\\mathcal{V}$ 是 $\\mathcal{U}$ 的子覆盖, 则 $\\mathcal{U}< \\mathcal{V}$ .
(3) 若 $\\mathcal{V}$ 是 $\\mathcal{U}$ 的加细, $T$ 是一个连续映射, 那么 $T^{-1}(\\mathcal{V})$ 是 $T^{-1}(\\mathcal{U})$ 的加细.
(4) $T$ 是一个连续映射.记 $\\mathcal{U}_0^{n-1}:=\\bigvee_{i=0}^{n-1}T^{-i}\\mathcal{U}=\\mathcal{U}\\vee T^{-1}\\mathcal{U}\\vee \\cdots \\vee T^{-(n-1)}\\mathcal{U}$ . 这仍然是一个开覆盖.

2-1.[ $N(\\mathcal{U})$ 和 $H(\\mathcal{U})$ ]如果 $\\mathcal{U}$ 为 $X$ 的开覆盖, 用 $N(\\mathcal{U})$ 表示的所有子覆盖中元素个数最小的子覆盖的的元素个数. 对覆盖 $\\mathcal{U}$ 记 $H(\\mathcal{U})=\\mathrm{log}{N(\\mathcal{U})}$ . 那么:

(1) $H(\\mathcal{U})\\geq 0$ ;
(2)[加细熵变大]如果 $\\mathcal{U}< \\mathcal{V}$ 那么 $H(\\mathcal{U}) \\leq H(\\mathcal{V})$ .
(3) $H(\\mathcal{U}\\vee \\mathcal{V})\\leq H(\\mathcal{U}) + H(\\mathcal{V})$ ;
(4) [求逆熵变小] $T$ 是一个连续映射, 则 $H(T^{-1}\\mathcal{U}) \\leq H(\\mathcal{U})$ . 如果 $T$ 是满射, 则有 $H(T^{-1}\\mathcal{U})=H(\\mathcal{U})$ .
(5) $H(\\mathcal{U})=0$ 当且仅当 $N(\\mathcal{U})=1$ 当且仅当 $X \\in \\mathcal{U}$ .

[证明] (1)明显成立.

(2)令 $\\{ V_1 , V_2, \\cdots, V_{N( \\mathcal{V})}\\}$ 是 $\\mathcal{V}$ 具有最小元素个数的子覆盖. 那么对于任意 $1\\leq i \\leq N(\\mathcal{V})$ 都存在 $U_i\\supset V_i$ 故 $\\{ U_1 , U_2, \\cdots, U_{N( \\mathcal{V})}\\}$ 是 $X$ 的覆盖, 且是 $\\mathcal{U}$ 的子覆盖, 因此 $N(\\mathcal{U}) \\leq N(\\mathcal{V})$ .

(3)令 $\\{ U_1 , U_2, \\cdots, U_{N( \\mathcal{U})}\\}$ 是 $\\mathcal{U}$ 的具有最小元素个数的子覆盖, 而 $\\{ V_1 , V_2, \\cdots, V_{N( \\mathcal{V})}\\}$ 是 $\\mathcal{V}$ 具有最小元素个数的子覆盖. 那么 $\\{U_i \\cap V_j: 1\\leq i \\leq N(\\mathcal{U}); 1\\leq j \\leq N(\\mathcal{V})\\}$ 是 $\\mathcal{U}\\vee \\mathcal{V}$ 的子覆盖, 所以 $N(\\mathcal{U}\\vee \\mathcal{V})\\leq N(\\mathcal{U}) N( \\mathcal{V})$ .

(4)明显成立.

(5)明显成立.

2-2.[次可加数列]称非负数列 $\\{a_n\\}$ 为次可加数列, 如果 $0\\leq a_{m+n}\\leq a_m +a _n$ , 对于任意的 $m,n\\geq 1$ . 此时 $\\mathrm{lim}_{n\\rightarrow +\\infty}\\frac{a_n}{n}$ 总是存在的, 并且 $\\mathrm{lim}_{n\\rightarrow +\\infty}\\frac{a_n}{n}=\\mathrm{inf}_{n\\geq 1 }\\frac{a_n}{n}$ .

[证明] 由于 $\\{\\frac{a_n}{n}\\}$ 是非负数列, 因此 $\\mathrm{inf}_{n\\geq 1 }\\frac{a_n}{n}=\\alpha$ 存在且非负.
由下确界的定义, 我们有:

(a) 对于任何 $n$ 都有 $\\frac{a_n}{n}\\geq \\alpha$ ;

(b) 对于任何 $\\epsilon>0$ , 都存在一个正整数 $k$ 使得 $\\frac{a_k}{k}\\leq \\alpha+\\epsilon$ ;

当 $n$ 充分大时侯, 令 $n=mk +j$ (带余除法), 这里 $j\\in\\{0,1,\\cdots,k-1\\}$ ,
由次可加性质有 $a_{n}\\leq ma_k+ja_{1}$ ,
因此, $\\frac{a_{n}}{n}\\leq \\frac{a_k}{k}+\\frac{a_1}{m}\\leq \\alpha+2\\epsilon$ , 即得所证.

2-3.[ $\\mathcal{U}$ 相对于连续映射 $T$ 的拓扑熵]设 $X$ 是一个紧拓扑空间, $T: X \ o X$ 是连续映射. $\\mathcal{U}$ 是 $X$ 的开覆盖, 那么定义 $\\mathcal{U}$ 相对于 $T$ 的拓扑熵: $\\mathsf{h}_{top}(T,\\mathcal{U})=\\lim_{n\ o\\infty}\\frac{1}{n}{H(\\mathcal{U}_0^{n-1}})$ .

[证明] 需要证明 $\\mathcal{U}$ 相对于 $T$ 的拓扑熵的存在性. 对于任意的 $m,n\\geq 1$ 记 $a_n:=H(\\mathcal{U}_0^{n-1})=H(\\bigvee_{i=0}^{n-1}T^{-i}\\mathcal{U})$ . 那么 $a_{m+n}=H(\\bigvee_{i=0}^{m+n-1}T^{-i}\\mathcal{U})\\leq H(\\bigvee_{i=0}^{m-1}T^{-i}\\mathcal{U})+H(\\bigvee_{i=0}^{n-1}T^{-i}\\mathcal{U})\\leq a_n+a_m$ , 所以这是次可加数列,
因此 $\\mathrm{lim}_{n\\rightarrow +\\infty}\\frac{a_n}{n}$ 总是存在的. 即 $\\mathcal{U}$ 相对于 $T$ 的拓扑熵 $\\mathsf{h}_{top}(T,\\mathcal{U})=\\lim_{n\ o\\infty}\\frac{1}{n}{H(\\mathcal{U}_0^{n-1}})$ 总是存在的.

2-4. $\\mathcal{U}$ 相对于连续映射 $T$ 的拓扑熵且具有如下性质：

(1) $H(\\mathcal U) \\geq \\mathsf{h}_{top}(T,\\mathcal{U})\\geq 0$ ;
(2) 如果 $\\mathcal{U}\\leq \\mathcal{V}$ 那么 $\\mathsf{h}_{top}(T,\\mathcal{U}) \\leq \\mathsf{h}_{top}(T,\\mathcal{V})$ ;

[证明] 明显成立.

2-5.[拓扑熵]对于动力系统 $(X,T)$ , 用 $\\mathcal{C}^o_X$ 表示全体开覆盖的集合. 令 $\\mathsf{h}_{top}(T):=\\mathrm{sup}_{\\mathcal{U}\\in \\mathcal{C}^o_X}\\mathsf{h}_{top}(T,\\mathcal{U})$ , 把 $\\mathsf{h}_{top}(T)$ 称为动力系统 $(X,T)$ 的拓扑熵. 在必要时, 为了强调空间 $X$ , 也把它记为 $\\mathsf{h}_{top}(X,T)$ .

2-6.[例子]如果 $T=\\mathrm{id}:X\\rightarrow X$ 为恒同映射. 那么 $\\mathsf{h}_{top}(T)=0$ .

[证明]则对任意的开覆盖 $\\mathcal{U}=\\{ U_1 , U_2, \\cdots, U_k \\}$ 都有 $T^{-i}\\mathcal{U}=\\mathcal{U}$ . 因此存在 $k$ 使得 $\\bigvee_{i=0}^{n-1}T^{-i}\\mathcal{U}=\\bigvee_{i=0}^{k-1}T^{-i}\\mathcal{U}$ 对所有的 $n\\geq k$ . 因此
$\\mathsf{h}_{top}(T,\\mathcal{U})=\\lim_{n\ o\\infty}\\frac{1}{n}{H(\\mathcal{U}_0^{n-1}})=\\lim_{n\ o\\infty}\\frac{1}{n}{H(\\mathcal{U}_0^{k-1}})=0$ .
进而由于 $\\mathcal{U}$ 的任意性我们知道 $\\mathsf{h}_{top}(T)=0$ .

2-7. 拓扑熵且具有如下性质：

(1) $\\mathsf{h}_{top}(T)\\geq 0$ ;
(2)[子系统拓扑熵比较小]如果 $(Y,T)$ 是 $(X,T)$ 的子系统, 那么 $\\mathsf{h}_{top}(X,T)\\geq \\mathsf{h}_{top}(Y,T)$ .

[证明] (1)明显成立.
(2) 由定义.

下面给出拓扑熵的Bowen定义. 这个定义中要求 $X$ 是紧致的可度量空间.

3-1.[张成集] $(X, T )$ 是紧致系统, 并且 $X$ 还是可度量空间. $d$ 是 $X$ 的一个拓扑度量. 设 $n>0$ 和 $\\epsilon>0$ . 子集合 $F \\subset X$ 叫做 $T$ 的一个 $(n,\\epsilon)$ 张成集, 如果对每一个 $x \\in X$ , 存在 $y \\in F$ , 使得对于递增序列 $d_n^T(x,y):=\\mathrm{max}_{1\\leq i \\leq n-1}d(T^i(x),T^i(y))$ , 都有 $d_n^T(x,y)\\leq \\epsilon$ .

3-2.[分离集] $(X, T )$ 是紧致系统, 并且 $X$ 还是可度量空间. $d$ 是 $X$ 的一个拓扑度量. 设 $n>0$ 和 $\\epsilon>0$ . 子集合 $E \\subset X$ 叫做 $T$ 的一个 $(n,\\epsilon)$ 分离集, 如果对 $x, y \\in E$ , $x\ e y$ 蕴涵存在 $0\\leq i < n$ , 使得 $d(T^i(x),T^i(y))>\\epsilon$ .

3-3. 用 $r_n(\\epsilon, X,T)$ 表示 $T$ 的 $(n,\\epsilon)$ 张成集的基数的下确界. 用 $s_n(\\epsilon, X,T)$ 表示 $T$ 的 $(n,\\epsilon)$ 分离集的基数的上确界. 那么:

(1) $r_n(\\epsilon, X,T)<\\infty$ . $s_n(\\epsilon, X,T)<\\infty$ .
(2)[关于参数不增]如果 $0 < \\epsilon_1 < \\epsilon_2$ , 那么 $r_n(\\epsilon_1, X,T)\\geq r_n(\\epsilon_2, X,T)$ , $s_n(\\epsilon_1, X,T)\\geq s_n(\\epsilon_2, X,T)$ ;
(3) $r_n(\\epsilon, X,T)\\leq s_n(\\epsilon, X,T) \\leq r_n(\\frac{\\epsilon}{2}, X,T)$ .

[证明](1) 这是由于 $X$ 是紧致的.
(2) 显然.
(3) 显然 $X$ 的一个具有元素个数最多的 $(n,\\epsilon)$ 分离集也是 $(n,\\epsilon)$ 张成集, 所以 $r_n(\\epsilon, X,T)\\leq s_n(\\epsilon, X,T)$ .
相反的, 如果 $A$ 为具有元素个数最少的 $(n,\\frac{\\epsilon}{2})$ 张成集, 而 $E$ 是任意的 $(n,\\epsilon)$ 分离集, 则对每个 $x\\in E$ , 存在 $\\phi(x)\\in A$ 使得 $d_n(x,\\phi(x))<\\frac{\\epsilon}{2}$ . 因为 $E$ 是 $(n,\\epsilon)$ 分离集, 所以 $\\phi$ 为一一对应. 这说明 $|A|\\geq |E|$ , 所以 $s_n(\\epsilon, X,T) \\leq r_n(\\frac{\\epsilon}{2}, X,T)$ .

3-4. 记 $r(\\epsilon, X,T):=\\overline{\\mathrm{lim}}_{n\\rightarrow +\\infty}\\frac{1}{n}\\mathrm{log}r_n(\\epsilon, X,T)$ , $s(\\epsilon, X,T):=\\overline{\\mathrm{lim}}_{n\\rightarrow +\\infty}\\frac{1}{n}\\mathrm{log}s_n(\\epsilon, X,T)$ .

那么由3-3的(3)有: $r(\\epsilon, X,T)\\leq s(\\epsilon, X,T) \\leq r(\\frac{\\epsilon}{2}, X,T)$ .

3-5.[拓扑熵]定义 $h(T)=\\mathrm{lim}_{\\epsilon\\rightarrow 0}r(\\epsilon,X,T)=\\mathrm{lim}_{\\epsilon\\rightarrow 0}s(\\epsilon,X,T)$ 叫做 Bowen意义下的拓扑熵.

3-6. 设 $(X, T )$ 是紧致系统, 并且 $X$ 还是可度量空间. $d$ 是 $X$ 的一个拓扑度量. Bowen意义下的拓扑熵与 $X$ 的拓扑度量选取无关.

[证明]--------------

4 两种定义的等价性

叶向东/黄文/邵松: 拓扑动力系统概论, 出版社:科学出版社, ISBN:9787030205698

拓扑动力系统概论 (豆瓣)

周作领//尹建东//许绍元: 拓扑动力系统, 出版社:科学出版社, ISBN:9787030325860

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拓扑动力系统(4)： 拓扑熵

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